RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

    As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

    Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

    Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

    Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:

Usando que  encontramos a proporção:

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

NOS VÍDEOS ABAIXO TEMOS EXPLICAÇÕES E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS!

BONS ESTUDOS!

 

Teorema de Pitágoras

    O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 

    O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

Fórmula do teorema de Pitágoras

    Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.

    Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

    O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:

    Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 

 

     A identificação de gráficos e construção dos mesmos baseados nos tipos de informações que serão passadas é de extrema importância na finalização dessa parte informativa e estrutural da Estatística. Os modelos de gráficos a serem construídos e que se destacam como os mais usuais pelos meios de comunicação são os seguintes: gráfico de barras, setores ou pizza, colunas e linha ou segmentos.

    NO VÍDEO ABAIXO, TEMOS UMA EXPLICAÇÃO MELHOR!

BONS ESTUDOS...

 

ÁREA DE UM CUBO

ÁREA DE UM CUBO 

    O cubo é um dos sólidos de Platão. Então, Platão foi um filósofo e matemático grego que estudou os poliedros estabelecendo algumas propriedades importantes, tais como:

• Números de arestas iguais em todas as faces.
• Os ângulos dos poliedros possuem o mesmo número de arestas.
• Número de vértices (V), menos o número de arestas (A), mais o número de faces (F), é igual a 2. Isto é a conhecida relação de Euler (V – A + F = 2).

    O cubo possui 12 arestas e 8 vértices. As faces e suas arestas possuem as mesmas medidas e são perpendiculares.

    Dependendo da finalidade, pode ser necessário calcular a área total, a área da base e a área lateral.

Área Total

    Para calcular a área total do cubo precisamos apenas calcular a área de uma de suas faces. Como o cubo é formado por 6 quadrados regulares e congruentes, então pegamos a área equivalente a um desses quadrados e multiplicamos por 6.

    A fórmula da área de um quadrado é igual a medida de uma de suas arestas ao quadrado, ou seja, A = a². Como o cubo é formado por quadrados, então a fórmula da área total de um cubo é equivalente a área do quadrado multiplicado por 6.

    Fórmula da Área Total

    Para calcular a área total usamos a seguinte fórmula:

A_t = 6 . a²

    Onde:

• A_t: é a área total;
• a: é a medida de uma de suas arestas

Diagonal

    Para calcularmos a diagonal do cubo, usaremos o Teorema de Pitágoras para chegar a uma fórmula geral.

    Para isso precisamos apenas encontrar a medida da diagonal de uma de suas faces.

    Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras porque a digonal de uma de suas faces é a diagonal de um quadrado. Essa diagonal forma um triângulo retângulo.

Exemplo:

    Considere um cubo de arestas com medida a a seguir, calcule a sua diagonal.

    Vamos calcular a medida b da diagonal da face que é a base do cubo acima. No triângulo BAD, temos:

• b² = a² + a² ⇒ b² = 2 . a² ⇒ b = a√2

    Com a medida da diagonal b podemos calcular agora a medida referente a diagonal d. Assim, no triângulo BDD’, temos:

• d² = a² + b² ⇒ d² = a² + 2 . a² ⇒ d² = 3 . a² ⇒ d = a√3

Fórmula da Diagonal

d = a√3

    O volume do cubo é a medida correspondente ao espaço interno do cubo. Além disso, o cubo é um poliedro regular formado por polígonos, mais especificamente por quadrados unidos dois a dois pelas arestas.

  

Como o cubo é formado por arestas congruentes, ou seja, com a mesma medida. Precisamos, então, apenas conhecer a medida de uma aresta e elevá-la a potência de 3.

    Portanto, o volume do cubo é calculado levando em consideração a largura, o comprimento e a altura. Dessa forma, chegaremos a seguinte fórmula:

V = a . a . a

Onde:

• V: equivale a medida do volume do cubo.
• a: equivale a medida da aresta do cubo.

    Em resumo, as medidas das arestas do cubo possuem as mesmas medidas, logo podemos escrever a fórmula para o volume do cubo da seguinte maneira:

V = a³

Exemplo:

    Considere o cubo a seguir:

    Para calcular o volume desse cubo, devemos usar a fórmula:

V = a³

    Então: V = 5³ = 125 cm³

    Portanto, o volume do cubo é 125 cm³.